Ο Σπύρος Ευαγγελάτος γεννήθηκε στην Αθήνα και ήταν γιος του συνθέτη Αντίοχου Ευαγγελάτου και της αρπίστριας Ξένης Mπουρεξάκη. Η καλλιτεχνική παράδοση της οικογένειας τον οδήγησε προς το θέατρο. Σπούδασε αρχικά στη φιλοσοφική σχολή του Πανεπιστημίου Αθηνών και στη συνέχεια στη Δραματική Σχολή του Εθνικού Θεάτρου, απο την οποία απεφοίτησε το 1961. Την περίοδο 1966-1970 συμπλήρωσε τις σπουδές του στην Αυστρία, την Γερμανία, την Γαλλία κ.α.. Σπούδαζε μάλιστα με υποτροφία θέατρο και θεατρολογία στο Πανεπιστήμιο της Βιέννης. Το 1970 έγινε διδάκτορας της Φιλοσοφικής Σχολής του Πανεπιστημίου Αθηνών.

Απο το 1962 είχε ιδρύσει τη «Νεοελληνική Σκηνή» ενώ το διάστημα 1971-1977 συνεργάστηκε με το εθνικό θέατρο σκηνοθετώντας παραστάσεις στην Επίδαυρο και αλλού. Το 1975 ίδρυσε το «Αμφι-θέατρο», με το οποίο διοργάνωνε παραστάσεις σε όλο τον κόσμο.

Το 1989 εξελέγη αναπληρωτής καθηγητής του τμήματος ιστορίας και αρχαιολογίας της Φιλοσοφικής Σχολής του Καποδιστριακού Πανεπιστημίου, ενώ το 1991 ανέλαβε την έδρα Θεατρικών Σπουδών που μόλις είχε δημιουργηθεί.

Την περίοδο 1977-1980 διετέλεσε γενικός διευθυντής του Κρατικού Θεάτρου Βορείου Ελλάδος, την περίοδο 1984-1987 διευθυντής της Εθνικής Λυρικής Σκηνής, το διάστημα 1997-1999 πρόεδρος του τμήματος θεατρικών σπουδών του Πανεπιστημίου Αθηνών κ.ά.

Έχει τιμηθεί με το βραβείο «Κάρολος Κουν» (1988), το βραβείο της Εταιρείας Ελλήνων Θεατρικών Συγγραφέων (1994), το βραβείο Σκηνοθεσίας της Εταιρείας Ελλήνων Θεατρικών Συγγραφέων (1996), με το παράσημο του «ταξιάρχη του τάγματος του Φοίνικος» απο τον Πρόεδρο της Ελληνικής Δημοκρατίας ενώ το 2005 εκλέχθηκε τακτικό μέλος της Ακαδημίας Αθηνών.

Τον Φεβρουάριο του 2011 ανακοίνωσε την πρόθεσή του να αναστείλει την λειτουργία του «Αμφι-θεάτρου» λόγω οικονομικών προβλημάτων, κατηγορώντας τον υπουργό Πολιτισμού Παύλο Γερουλάνο για αδιαφορία.

Στις 12 Ιανουαρίου 2012 ανακηρύχθηκε αντιπρόεδρος της Ακαδημίας Αθηνών και πρόεδρος το 2013.

Το περασμένο Καλοκαίρι έδωσε την τελευταία του παράσταση στο Ηρώδειο με τον Αμύντα του Γεωργίου Μόρμορη.