Ήταν δικηγόρος παρ’ Αρείω Πάγω και σπούδασε Νομική στο Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Υπήρξε βουλευτής στις εκλογές του 1985, 1989, 1990, 1996, 2004 και 2007, ενώ διετέλεσε υφυπουργός Γεωργίας 1992-1993 και γενικός γραμματέας Υπουργείου Γεωργίας το 1981

Η κηδεία του θα γίνει την Τρίτη 14/1/2020, στις 3 μ.μ., στον Ι. Ν. Κοιμήσεως Θεοτόκου, στα Σπάτα. Η οικογένεια του Αποστόλου Σταύρου ζητά από όσους επιθυμούν, αντί στεφάνων, να γίνει δωρεά στη Μονάδα Ανακουφιστικής Φροντίδας «ΓΑΛΙΛΑΙΑ».

Για την απώλειά του, ο Κυριάκος Μητσοτάκης, εξέδωσε ανακοίνωση στην οποία αναφέρει: «Η οικογένεια της Νέας Δημοκρατίας με θλίψη αποχαιρετά τον Απόστολο Σταύρου. Στην πολύχρονη πολιτική διαδρομή του ο Απόστολος, διακρίθηκε για το ήθος, τη συνέπεια, την σοβαρότητα, την εργατικότητά του. Τιμώντας την εμπιστοσύνη των πολιτών, ανταποκρίθηκε επάξια στα υψηλά καθήκοντα που ανέλαβε κατά καιρούς κερδίζοντας τον σεβασμό όλων. Στην πολύχρονη πολιτική διαδρομή του ο Απόστολος, διακρίθηκε για το ήθος, τη συνέπεια, την σοβαρότητα, την εργατικότητά του. Τιμώντας την εμπιστοσύνη των πολιτών, ανταποκρίθηκε επάξια στα υψηλά καθήκοντα που ανέλαβε κατά καιρούς κερδίζοντας τον σεβασμό όλων. Θερμά συλλυπητήρια στην οικογένειά του».